漢代 的 餘數 (Remainder)

2015-07-20

Remainder 餘數 的問題原來 早於 漢代 劉邦時代出現 
故事係講劉邦問韓信手上有多少兵的對話 
“傳 漢高祖 幸 雲夢澤，欲見機擒 韓信，
但不知其兵數，恐有變，故問︰「卿有兵何？」 
信曰︰「兵不知數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。」 
高祖不解，問法於 張良。良曰︰「兵數無法算，不可數！」 
其後雖擒信，但仍不知其解” 

即係韓信的兵數 
除 3，餘數係 2； 
除 5，餘數係 3； 
除 7，餘數係 2。 
咁韓信即係有幾多兵？ 大家可以諗諗，答案嚮下面。 
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設兵數為 A 
A = 3P+2 = 5Q+3 = 7R+2，其中 P, Q, R 為整數 integer 
先睇 3P+2 = 5Q+3 …..(1) 
逐個估，做到 3P+2 的有 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, … 
但要符合 5Q+3 的第一個數係 8 
而大家要留意，除左 8 外，要符合 (1) 式的仲有其他數 
佢地就係將 8 加翻 3 同5 的 LCM = “15” 的倍數 
8, 8+15=23, 8+15+15=38, 8+15+15+15=53, … 
(38係符合3P+2，亦符合 5Q+3 的要求) 

再睇 5Q+3 = 7R+2 ….(2) 
逐個估，做到5Q+3 的有 8, 13, 18, 23, 28, 33, … 
但要符合 7R+2 的第一個數係 23 
而大家再要留意，除左 23 外，要符合 (2) 式的仲有其他數 
佢地就係將 23 加翻 5 同7 的 LCM = “35” 的倍數 
23, 23+35=58, 23+35+35=93, 23+35+35+35=128, … 
(93係符合5Q+3，亦符合7R+2 的要求) 

(1) 及(2) 的第一個共同答案係 23 
但係仲有好多個其他的答案 
只要將 23 加翻 15 同35 的 LCM 105 的倍數 
全部都會係答案 
最終答案係 = 105Z + 23，
其中 Z 為非負整數 non-negative integer 

咁即係韓信有幾多兵？ 
只係知道兵數除 105，餘數 23

Herman Yeung


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