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2015年7月20日 星期一

漢代 的 餘數 (Remainder)


2015-07-20

Remainder 餘數 的問題原來 早於 漢代 劉邦時代出現 
故事係講劉邦問韓信手上有多少兵的對話 
“傳 漢高祖雲夢澤,欲見機擒 韓信
但不知其兵數,恐有變,故問︰「卿有兵何?」 
信曰︰「兵不知數,三三數之剩二,五五數之剩三,七七數之剩二。」 
高祖不解,問法於 張良。良曰︰「兵數無法算,不可數!」 
其後雖擒信,但仍不知其解” 

即係韓信的兵數 
除 3,餘數係 2; 
除 5,餘數係 3; 
除 7,餘數係 2。 
咁韓信即係有幾多兵? 大家可以諗諗,答案嚮下面。 
















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設兵數為 A 
A = 3P+2 = 5Q+3 = 7R+2,其中 P, Q, R 為整數 integer 
先睇 3P+2 = 5Q+3 …..(1) 
逐個估,做到 3P+2 的有 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, … 
但要符合 5Q+3 的第一個數係 8 
而大家要留意,除左 8 外,要符合 (1) 式的仲有其他數 
佢地就係將 8 加翻 3 同5 的 LCM = “15” 的倍數 
8, 8+15=23, 8+15+15=38, 8+15+15+15=53, … 
(38係符合3P+2,亦符合 5Q+3 的要求) 

再睇 5Q+3 = 7R+2 ….(2) 
逐個估,做到5Q+3 的有 8, 13, 18, 23, 28, 33, … 
但要符合 7R+2 的第一個數係 23 
而大家再要留意,除左 23 外,要符合 (2) 式的仲有其他數 
佢地就係將 23 加翻 5 同7 的 LCM = “35” 的倍數 
23, 23+35=58, 23+35+35=93, 23+35+35+35=128, … 
(93係符合5Q+3,亦符合7R+2 的要求) 

(1) 及(2) 的第一個共同答案係 23 
但係仲有好多個其他的答案 
只要將 23 加翻 15 同35 的 LCM 105 的倍數 
全部都會係答案 
最終答案係 = 105Z + 23,
其中 Z 為非負整數 non-negative integer 

咁即係韓信有幾多兵? 
只係知道兵數除 105,餘數 23

Herman Yeung


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